terça-feira, 23 de novembro de 2010

Quadriláteros Notáveis

Paralelogramo

Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

Exemplo:


h é a altura do paralelogramo.

Quadriláteros Notáveis

Relações entre os ângulos internos de um quadrilátero

A soma dos ângulos internos é igual a 360°
ex:
2x+130+40+80=360
2x= 360-240
x= 120:2 x=60


A soma dos ângulos externos de um quadrilétero é igual a 360º

Elementos de um quadrilátero

Definição:

Quadrilátero é um polígono de quatro lados.


Quadrilátero ABCD

Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não-consecutivos são chamados opostos.


Elementos

Na figura abaixo, temos:

Quadrilátero ABCD

Vértices: A, B, C, e D.
Lados:
Diagonais:

Ângulos internos ou ângulos do
quadrilátero ABCD: .

Observações

  1. Todo quadrilátero tem duas diagonais.

  2. O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD + DA.

Congruência

Definições:

Segmentos de Reta Congruentes – Dizemos que dois segmentos de reta são congruentes quando eles tiverem a mesma medida, tomada na mesma unidade.
Figuras Congruentes – Dizemos que duas figuras são congruentes quando podemos colocar uma sobre a outra e elas coincidirem.
Triângulos Congruentes – Dizemos que dois triângulos são congruentes quando eles têm os lados respectivamente congruentes e os ângulos respectivamente congruentes.
Em relação à congruência de triângulo, existem critérios que sendo satisfeitos garantem a congruência de dois triângulos sem precisar verificar os 3 lados e os 3 ângulos.

1º Caso: Lado, Lado, Lado – LLL
Neste caso eles serão congruentes por possuírem os 3 lados iguais. Por exemplo: Tomando um triangulo qualquer, verificar o comprimento dos lados e tomar três segmentos de mesmo tamanho dos do triangulo e tendo apenas estes 3 lados, não terá outra forma de construir um triângulo a não ser usando os mesmos ângulos.





2º Caso: Lado, Ângulo, Lado – LAL
Se tivermos dois segmentos e um ângulo entre eles, a forma para a construção de um triangulo será única.

3º Caso: Ângulo, Lado, Ângulo – ALA
Dados dois ângulos e o lado que está entre estes ângulos, o triangulo construído será um só.


Elementos Notáveis de um Triângulo

Os triângulos são formados por lados, vértices, ângulos internos e externos. Neles também determinamos outros elementos mais notáveis, como mediana, altura, bissetriz, incentro, baricentro e ortocentro. Vamos determinar cada um desses elementos e demonstrar, através de imagens, suas características.

Mediana

A mediana de um triângulo parte do vértice até o ponto médio do lado oposto. No triângulo ABC temos que uma das mediadas é dada pelo segmento de reta CM.



O ponto de encontro das medianas de um triângulo é denominado Baricentro. Veja:


Bissetriz

O segmento de reta que divide em duas partes iguais o ângulo interno de um triângulo é denominado bissetriz.

Ao serem traçadas as três bissetrizes do triângulo, o ponto de encontro delas receberá o nome de Incentro. Observe:


Altura

A altura de um triângulo é determinada utilizando um segmento que parte do vértice formando um ângulo de 90º, isto é, perpendicular com o lado oposto ou prolongamento desse lado.


O ponto de encontro das alturas de um triângulo é denominado Ortocentro. Observe:

Condição de existência de um triângulo

Para construir um triângulo não podemos utilizar qualquer medida, tem que seguir a condição de existência:
Para construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.



| b - c | < a < b + c
| a - c | < b < a + c
| a - b | < c < a + b

Exemplo:


14 – 8 < 10 < 14 + 10
14 – 10 < 8 < 14 + 10
10 – 8 <>

Equações Algébricas Fracionárias

Toda equação fracionária algébrica possui no seu denominador uma incógnita. Devemos sempre observar as restrições, pois não podemos ter divisões por zero.
A equação abaixo é um exemplo de equação algébrica fracionária que possui restrições:

Resolução de uma Equação Algébrica Fracionária

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

A densidade de um corpo de massa igual a 600 g e volume x cm³ e diminuída de 50g/cm³ é igual a 100g/cm³. Qual é o volume desse corpo?

M.M.C de Monômios e Polinômios

O mínimo múltiplo comum de números naturais ou de polinômios será encontrado através da comparação dos fatores de cada fatoração, ou seja, o mmc de um número natural ou de um polinômio é a multiplicação dos fatores sem repetir os comuns, levando em consideração os de maior expoente.


Exemplo: Ao calcularmos o mmc de 8 e 18 é preciso fatorar o 8 e o 18 em fatores primos, ficando da seguinte forma:

8 = 2 * 2 * 2 = 23. Sendo 23 o único fator dessa fatoração.

18 = 2 * 3 * 3 = 2 * 32. Sendo 2 e 32 os fatores dessa fatoração.

Os fatores comum são 23 e 2, dessa forma consideramos o 23. Assim, o mmc de 8 e 18 será igual a 23 * 32 = 72.

Exemplo: mmc de 9xy e 12 xy2. Fatoramos separadamente cada monômio.

9xy = 32 * x * y. Sendo 32 e x e y os fatores dessa fatoração.

12xy2 = 22 * 3 * x * y2. Sendo 22 e 3 e x e y2 os fatores dessa fatoração.

Os fatores comum são 32 e 3, x e x, y e y2, seguindo a regra iremos considerar 32, x, y2.
Dessa forma, podemos dizer que o mmc de 9xy e 12xy2 é igual a 32 * 22 * x * y2 = 36xy2.

Exemplo: mmc de x2 + 1 e x2 – 2x + 1. Fatoramos separadamente cada polinômio.

x2 – 1 = (x + 1) * (x – 1)

x2 – 2x + 1 = (x – 1)2

Os fatores comum são (x – 1)2 e (x – 1), seguindo a regra iremos considerar (x – 1)2. Dessa forma, podemos dizer que o mmc de x2 + 1 e x2 – 2x + 1 é igual a (x + 1) * (x –1)2.

A utilização do MMC de polinômios está diretamente ligada às resoluções de equações fracionárias algébricas, pois esse tipo de equação traz em seu denominador monômios, binômios, trinômios ou polinômios. Dessa forma, se uma equação fracionária algébrica apresentar denominadores diferentes, utilizaremos o MMC de polinômios. Observe uma aplicação do mmc de polinômios na resolução de uma equação.

Exemplo 1


Exemplo 2

Adição, Subtração, Multiplição e Divisão com Frações Algébricas

Adição e Subtração de expressões algébricas

Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algébricas, basta somar ou subtrair os termos semelhantes.

Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z
ou
2 x³ y² z -
3x³ y² z = -x³ y² z

-Convém lembrar dos jogos de sinais.

Na expressão ( x³ + 2 y² + 1 ) – ( y ² - 2 ) =
x³ +2 y² + 1 – y² + 2 = x³ + y² +3

Multiplicacão e Divisão de expressões algébricas

Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos usar a propriedade distributiva.

Exemplos:

1) a ( x+y ) = ax + ay

2) (a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by

3) x ( x ² + y ) = x³ + xy

» Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.

» Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair os expoentes
Exemplos:

1) 4x² : 2 x = 2 x

2) ( 6 x³ - 8 x ) : 2 x = 3 x² - 4

3) =

[Resolução]

Observação: Constatei que é muito comum nos estudantes, ao terem o primeiro contato com as cálculos algébricos, os seguintes erros no cálculo da adição ou da subtração:

ERRADO:

Veja que 3a³ e 2a² não possuem a mesma parte literal e, portanto, não podem ser somados. No caso acima, não há termos que podem ser somados ou subtraídos.
Seria o mesmo que efetuar a seguinte soma:


Não há lógica a soma de uma lâmpada com um gato, assim como não há, entre 3a³ e 2a².

Adição, Subtração, Multiplição e Divisão com Frações Algébricas

Adição e Subtração de expressões algébricas

Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algébricas, basta somar ou subtrair os termos semelhantes.

Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z
ou
2 x³ y² z -
3x³ y² z = -x³ y² z

-Convém lembrar dos jogos de sinais.

Na expressão ( x³ + 2 y² + 1 ) – ( y ² - 2 ) =
x³ +2 y² + 1 – y² + 2 = x³ + y² +3

Multiplicacão e Divisão de expressões algébricas

Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos usar a propriedade distributiva.

Exemplos:

1) a ( x+y ) = ax + ay

2) (a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by

3) x ( x ² + y ) = x³ + xy

» Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.

» Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair os expoentes
Exemplos:

1) 4x² : 2 x = 2 x

2) ( 6 x³ - 8 x ) : 2 x = 3 x² - 4

3) =

[Resolução]

Observação: Constatei que é muito comum nos estudantes, ao terem o primeiro contato com as cálculos algébricos, os seguintes erros no cálculo da adição ou da subtração:

ERRADO:

Veja que 3a³ e 2a² não possuem a mesma parte literal e, portanto, não podem ser somados. No caso acima, não há termos que podem ser somados ou subtraídos.
Seria o mesmo que efetuar a seguinte soma:


Não há lógica a soma de uma lâmpada com um gato, assim como não há, entre 3a³ e 2a².

Simplificação de Fracões Algébricas Através da Fatoração

Para serem desenvolvidas, algumas simplificações requerem, primeiramente, o uso de técnicas de produtos notáveis e fatoração.

Fator comum em evidência




Diferença entre dois quadrados




Agrupamento e fator comum em evidência




Trinômio quadrado perfeito




Efetuando operações antes de simplificar




Fração Algébrica

Frações Algébricas

O cálculo de frações algébricas utiliza o mesmo processo do cálculo das frações numéricas, admitindo-se sempre que o denominador não seja nulo, ou seja, diferente de zero.

Simplificação de frações algébricas:

Simplificar uma fração algébrica é obter uma fração mais simples equivalente.

Para simplificar uma fração, fatoramos o numerador e o denominador.

Exs:

terça-feira, 10 de agosto de 2010

Tipos de ângulos

Colaterais: Estão no mesmo lado da transversal.

Alternos: Estão em lados diferentes da transversal e podem ser interna ou externa.

Colaterais Internos: Estão do mesmo lado da transversal, entre as paralelas, a soma dos ângulos é 180°
Colaterais Externos: Estão do mesmo lado da transversal, fora das paralelas, a soma dos ângulos é 180°.

Colaterais Adjacentes: Estão do mesmo lado da transversal, mas não na mesma região, apresentam o mesmo vértice, a soma dos ângulos é 180°.

Colaterais Correspondentes: Estão do mesmo lado da transversal, mas não na mesma região e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais.

Alternos Internos: Estão em lados diferentes da transversal, entre as paralelas e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais.

Alternos Externos: Estão em lados diferentes da transversal, fora das paralelas e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais.

Alternos Comuns:Estão em lados e regiões diferentes da transversal e não apresentam o mesmo vértice, a soma de seus ângulos é 180°

Alternos Adjacentes: Estão em lados diferentes da transversal, mas na mesma região e apresentam o mesmo vértice, a soma dos ângulos é 180°

Opostos pelo Vértice: Estão em lados e regiões diferentes da transversal e apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais.

Complementares: São aqueles que, somados, resultam 90°

Suplementares: São aqueles que, somados, resultam 180°



Ângulo Reto: É o ângulo que medem exatamente 90°.

Ângulo Central: É o angulo cujo vértice é o centro da circunferência.

Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência e seus lados são secantes a ela.

Ângulo Obtuso: É um ângulo cuja medida está entre 90 ° e 180 °.
Ângulo Agudo: É o ângulo cuja medida é maior do que 0 e menor que 90 graus.

Ângulo de meia volta ou raso: É o ângulo que mede exatamente 180º.

Ângulo de uma Volta: É aquele que mede 360º, ou seja, uma volta inteira.

Correspondentes: São os que estão do mesmo lado.(congruentes)